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Meccanica celeste classica

La meccanica celeste è la branca della meccanica classica che studia il moto dei corpi celesti, in particolare pianeti, satelliti naturali ed artificiali, asteroidi e comete da un punto di vista fisico-matematico.

Fondamenti di meccanica newtoniana - gravita' Newtoniana - potenziale gravitazionale - potenziale gravitazionale da distribuzioni di massa in simm etria assiale - orbite Kepleriane - le leggi di Keplero - il problema di Keplero - elementi orbitali - orbite in un campo di forze centrale - sistemi di riferimento non inerziali - effetti mareali - raggio di Roche - meccanica Lagrangiana - il problema degli N corpi - il problema dei tre corpi ristretto, il cirterio di Tisserand.

La meccanica celeste ha il suo fondamento nelle leggi di Newton, ma prima ancora sulle deduzioni di Tycho Brahe e del suo allievo Keplero.

Tycho Brahe passò la sua vita dedito allo studio, favorito dal re danese che gli donò un'isola dove costruì un osservatorio astronomico. Catalogò oltre 1000 stelle, provò che le comete sono corpi celesti veri e propri e scoprì una supernova.

Giovanni Keplero (1571-1630), teologo, matematico, astronomo tedesco, attraverso lo studio del moto retrogrado di Marte diede il suo fondamentale contributo scoprendo le tre leggi che portano il suo nome.

Esse, in maniera molto schematica, ma avrò modo di approfondire in futuro, son tutte leggi che riguardano il moto dei pianeti intorno al sole.

La prima legge di Keplero o legge delle orbite ellittiche (1609) afferma che l'orbita di un pianeta è un ellisse, di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Con questa legge si sottointende un modello eliocentrico in cui l'orbita è perfettamente circolare e si prendono definitivamente le distanze dalla teoria geocentrica di Tolomeo. 

Questa legge ha alcune conseguenze. La prima è data dal fatto che, data l'orbita ellittica, il pianeta ha durante il suo periodo di rivoluzione, distanze sempre variabili e raggiunge in due punti ben precisi la distanza massima (afelio) e la distanza minima (perielio) dal suo astro di riferimento.

L'ellisse ha una sua caratteristica che è l'eccentricità, che è sempre compresa tra un valore che va da zero ad 1 e fornisce un valore dello schiacciamento dei suoi assi. Un valore di zero da luogo ad una circonferenza, un valore di 1 a un segmento. L'eccentricità dell'orbita terrestre ha un valore di 0.0167, con una differenza tra afelio e perielio di 5 milioni di km su una media di 150 milioni, quindi risulta decisamente poco ellettica.

La distanza media di 150 milioni di km prende il nome di unità astronomica.

La seconda legge di Keplero o legge delle aree (1609) afferma che il segmento che unisce il sole e il pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

La conseguenza più importante di questa legge è che spiega che il pianeta, nel suo moto di rivoluzione, ha velocità diverse e più precisamente, più vicino al sole, più è veloce, mentre rallenta man mano che si allontana.  La velocità areolare, il rapporto tra l'area spazzata e tempo impiegato, è costante.

La terza legge di Keplero o legge dei periodi (1619) afferma che il quadrato dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo delle loro distanze dal sole. Grazie a questa legge, tramite formula inversa, è possibile calcolare la massa del sole a partire dalla distanza conosciuta terra-sole e dal periodo  di rivoluzione della terra. 

Le leggi di Keplero sono esatte a condizione che:

  • la massa del pianeta sia trascurabile rispetto a quella della stella di riferimento a tal punto che possano essere modellizzati come punti materiali;
  • si possano trascurare le interazioni tra diversi pianeti, o tra pianeta e altri corpi come satelliti, in quanto perturbazioni tra vari oggetti potrebbero variare le orbite.
  • l'intensità della gravità permetta di trascurare gli effetti della teoria della relatività generale.

Le tre leggi di Keplero sono applicabili a qualunque corpo orbitante intorno ad un altro, ad esempio satelliti  naturali o artificiali.

Le tre leggi di Keplero sono leggi sperimentali, che riescono a prevedere attraverso calcoli matematici  i risultati di osservazioni scientifiche, ma il motivo che spiega i comportamenti di un corpo orbitante intorno a uno più massivo, in perfetta sintonia con le leggi di Keplero, venne spiegato da Newton con la sua legge di gravitazione universale.

La legge di gravitazione universale afferma che due punti materiali si attirano in maniera direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e in maniera inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. 

legge gravitazione universale

Questa legge prevede una costante, chiamata costante di gravitazione universale: essa ha un valore molto piccolo ed è di G = 6,67×1011 N m2/kg2.

Questo valore è costante  in ogni punto dell'universo e attraverso essa, conoscendo  la distanza tra il sole e un pianeta, è possibile stimarne la massa.